Selamat datang di Dosen.co.id, web digital berbagi ilmu pengetahuan. Kali ini PakDosen akan membahas tentang Sistem Bilangan Real? Mungkin anda pernah mendengar kata Sistem Bilangan Real? Disini PakDosen membahas secara rinci tentang pengertian, operasi, persentase, macam, sifat, himpunan, garis, persamaan, pertidaksamaan dan contoh. Simak Penjelasan berikut secara seksama, jangan sampai ketinggalan.
Pengertian Sistem Bilangan Real
Sistem matematika merupakan himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain aljabar dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan. Berikut ini terdapat beberapa sistem bilangan yang sederhana, yakni sebagai berikut:
1. Bilangan Bulat dan Rasional
di antara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural), Contoh :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional).
Demikian juga Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
2. Bilangan Real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
-
Operasi Penjumlahan
Contoh:
1. 4 + 6 = 10
2. 4 + (-6 ) = -2
-
Operasi Pengurangan
Contoh:
1. -6 – 5 = -6 + (-5) = -11
2. 3 -6 – 4 = -6 + (-4) = -10
-
Operasi Perkalian
Contoh:
1. 6 x 5 = 30
2. 6 x (-4) = -24
3. (-6) x (-4) = 24
-
Operasi Pembagian
Contoh:
1. 12 : 2 = 6
2. 12 : -2 = -6
3. (-12) : (-2) = 6
Persentase Bilangan Real
Berikut ini terdapat beberapa menghitung persantase, yakni sebagai berikut:
1. Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan
Contoh:
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000
Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00
2. Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00
Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
3. Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Rumusnya sebagai berikut LABA = PENJUALAN – PEMBELIAN. Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut
RUGI = PEMBELIAN – PENJUALAN
Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00
4. Persentase Keuntungan (Laba) dari Harga Beli
Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:
P%= Rp.400.000 x 100%=16.7%
Rp.2400.000
Macam-Macam Bilangan Real
Berikut ini terdapat beberapa macam-macam bilangan real, yakni sebagai berikut:
-
Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk
membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…
A = {1,2,3,4,…}
-
Bilangan Genap (G)
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA
G = {2,4,6,8,…}
-
Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA
Gj = {1,3,5,7,…}
-
Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan
hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1
P = {2,3,5,7,…}
-
Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain
Km = {4,6,8,9,…}
-
Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol
C = {0,1,2,3,4,…}
-
Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif.
B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
-
Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,
dengan a dan b ÎB serta b ≠0
-
Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)
-
Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0.
Contoh: π = 3,14159…, e = 2,71828….
-
Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
-1 -2 -3 0 1 2 3 4
-
Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.
-
Bilangan Kompleks (K)
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal.
Sifat-Sifat Operasi Bilangan Bulat
Berikut ini terdapat beberapa sifat-sifat operasi bilangan bulat, yakni sebagai berikut:
1. Sifat Komutatif
a + b = b + a
a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27
2. Sifat Assosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Contoh:
1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45
4. Terdapat Dua Elemen Identitas
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,sehingga memenuhi:
a + 0 = a
a . 1 = a
5. Terdapat Elemen Invers
Setiap bilangan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –a yang memenuhi:
a + (-a) = 0
Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.
Himpunan Bilangan Real
Himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut :
Garis Bilangan Real
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang (interval). Berikut beberapa interval, cara penulisannya dalam bentuk himpunan, dan grafiknya dalam garis bilangan.
Persamaan dan Pertidaksamaan Bilangan Real
Model matematika dari permasalahan sehari-hari seringkali berbentuk persamaan atau pertidaksamaan. Konsep persamaan dan pertidaksamaan ini didasari oleh konsep kesamaan dan ketidaksamaan dalam sistem bilangan riil, sehingga sifat-sifat kesamaan dan ketidaksaman dalam sistem bilangan riil banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu persamaan dan pertidaksamaan. Pada perkembangannya, suatu persamaan atau pertidaksamaan dapat diterapkan dalam semesta pembicaraan tertentu, misalnya pada ruang lingkup himpunan bilangan bulat (Z), himpunan bilangan kompleks (C), dan sebagainya. Perbedaan ruang lingkup pembicaraan ini seringkali akan mengakibatkan perbedaan pada penyelesaian terhadap suatu persamaan atau pertidaksamaan. Oleh karenanya dalam menyelesaikan sebuah persamaan atau pertidaksamaan, kita harus memperhatikan himpunan semestanya. Namun demikian apabila tidak ada pernyataan tentang semesta pembicaraan ini, maka suatu persamaan atau pertidaksamaan tersebut diselesaikan dalam lingkup himpunan bilangan riil.
Contoh Bilangan Real
2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.
2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)
2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif
2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Demikian Penjelasan Materi Tentang Sistem Bilangan Real: Pengertian, Operasi, Persentase, Macam, Sifat, Himpunan, Garis, Persamaan, Pertidaksamaan dan Contoh Semoga Materinya Bermanfaat Bagi Siswa-Siswi.
